
\chapter{Ap\'endice}
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En los cap\'{\i}tulos anteriores se ha amenzado con diversos
``ap\'endices". Ha llegado el momento. A los ap\'endices
los hemos reunido en \'este cap\'{\i}tulo especial,
comenzado con algunos aspectos poco conocidos de la geometr\'{\i}a
de una elipse.

\section{Geometr\'{\i}a de la elipse}

Para dibujar una elipse, los jardineros clavan dos estacas en el suelo 
y luego, con una cuerda atada de modo que forme un lazo que se apoya 
en ambas estacas, van marcando en el suelo la elipse que quieren. Esto 
tiene que ver con una de las formas m\'as antiguas de definir una 
elipse. La canci\'on es la siguiente: {\sl se llama elipse al lugar 
geom\'etrico de los puntos cuya suma de distancias a dos puntos fijos, 
es constante}. ¿Qu\'e tiene que ver con la gravitaci\'on esta 
curva tan especial? 

La definici\'on anterior no es la \'unica manera de describir a una 
elipse. Otra manera muy popular  de dar su ecuaci\'on, consiste en 
usar un sistema de coordenadas rectangulares:
$$ x^2/ a^2 + y^2/b^2 = 1 $$ 
Esta es una de las definiciones menos \'utiles que 
conozco, pero sirve, al menos, para que aparezca claramente el 
significado geom\'etrico del \textsf{eje mayor} ---que es el segmento 
$AB = 2a$---y del \textsf{eje menor} ---el segmento $CD= 2b $. 

% Al lado izquierdo va un esquema del metodo del jardinero, 
% a la derecha, la elipse centrada en un sistema cartesiano. 

\begin{figure}[!h]
%\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap10_fig01}}
\caption{C\'omo dibujar una elipse y el significado geom\'etrico de su excentricidad.\label{cap10:f1}}
\end{figure}

La distancia desde el centro O de la elipse hasta el foco 
$F_1$ es, naturalmente, s\'olo una fracci\'on del semi-eje mayor $a$, 
de modo que siempre se podr\'a expresar como el producto de $a$, por un 
n\'umero menor que $1$. A este n\'umero se lo llama la excentricidad y 
se lo designa con la letra griega epsilon.  
Si $\epsilon $ es cero, entonces ambos focos coinciden, $a $ se hace igual a 
$b$ y la elipse se convierte en una circunferencia.

Entonces, en el tri\'angulo rect\'angulo sombreado de la Fig. \ 1
la hipotenusa es igual a $a$, el cateto vertical es $b $ y el cateto 
horizontal es $a \epsilon$. El teorema de Pit\'agoras
nos permite escribir la relaci\'on que existe entre $a$, $b$ y
$\epsilon $:
\begin{align*}
  \epsilon = \sqrt{1 - (b/a)^2 } 
\end{align*}

La elipse es una curva tan importante en la mec\'anica orbital,
que tambi\'en conviene mirarla desde otros puntos de vista.
Por ejemplo, si queremos que aparezca dibujada en la pantalla de un
computador, lo mejor es usar el par de ecuaciones param\'etricas
\begin{align}
x = a \cos (\phi) \\
y = b \sen(\phi)
\end{align}

\begin{figure}[!h]
%\centering{\includegraphics{grav/cap10_fig01}}
\caption{Significado geom\'etrico de la anomal\'{\i}a
central y de la anomal\'{\i}a exc\'entrica. \label{cap10:f2}}
\end{figure}

El  par de ecuaciones  A) tiene una interpretaci\'on geom\'etrica
interesante. Imaginemos que se dibujan dos circunferencias 
conc\'entricas, la m\'as chica de radio $b$ y la otra de radio $a $.
Basta una mirada a la Fig.\ 2, para descubrir una receta que 
permite dibujar cada uno de los puntos de una elipse de semi-ejes $a$ y $b$. 
Desde el centro O dibujamos un rayo hasta un punto cualquiera Q, en la 
circunferencia de radio $a$. Ese mismo rayo corta a la circunferencia
chica en el punto Q$^{\prime}$.

Si por Q dibujamos una paralela al eje Y, \'esta corta al eje X en un punto 
cuya abscisa es $a \cos\phi$; y si por Q$^{\prime}$ dibujamos una paralela
al eje horizontal, \'esta corta al eje Y en el punto de ordenada
$b\sen \phi$. Entonces el punto P, donde se cortan estas dos 
paralelas, pertenece a la elipse que deseamos.

Es importante retener el significado geom\'etrico del \'angulo $\phi$. Es un 
\'angulo cuyo v\'ertice est\'a  {\sl en el centro} de
la elipse y  es el \'angulo al que los astr\'onomos fenicios llamaban 
\textsf{anomal\'{\i}a central}. Est\'a claro el porqu\'e del apellido
{\sl central}; lo que no queda claro es por qu\'e lo llamaban
``anomal\'{\i}a".

La m\'as popular representaci\'on polar de una elipse es
\begin{align*}
B   r = \frac{ a(1-\epsilon ^2) }{  1 + \epsilon\cos \theta } 
\end{align*}

\begin{figure}[!h]
%\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap10_fig01}}
\caption{Una representaci\'on polar de la elipse.\label{cap10:f3}}
\end{figure}

No vamos a dar detalles de la deducci\'on de esta receta, ya que aparece
en casi todos los textos de geometr\'{\i}a anal\'{\i}tica. Por ahora,
basta saber que $r$ es la distancia entre el foco y un punto de la
elipse, mientras que $\theta $ es el \'angulo entre el vector
posici\'on $\vec r $ y el eje de las X. A este \'angulo $\theta $
los astr\'onomos a\'un lo llaman \textsf{anomal\'{\i}a verdadera}.

Para entender mejor la soluci\'on del problema de Kepler
conviene saber que, si por $r$ seguimos entendiendo la ``distancia
 Sol--planeta",  otra manera de calcular esta distancia es la 
ofrecida por la ecuaci\'on
\begin{align*}
C r = a\, (1 - \epsilon \cos \phi) 
\end{align*}

\noindent en donde $\phi $ es la anomal\'{\i}a central. Esta ecuaci\'on C)
representa a la misma elipse que la ecuaci\'on B.

El principal uso de la ecuaci\'on C) no es el dibujo de elipses, sino
que ofrece una \'util relaci\'on entre los \'angulos $\theta$ y $\phi $.
La deducci\'on de C) la relegamos al final de esta
secci\'on.

\subsection{Area de la elipse}

Una circunferencia puede ser considerada como un caso especial de 
elipse, con ambos semiejes iguales al radio $r$ de la circunferencia. Su 
\'area es $ \pi r^2 = \pi a b $, as\'{\i} es que no deber\'{\i}a sorprendernos 
el que la receta que permite calcular el \'area de una elipse sea

\begin{align*}
D   A_{elipse} = \pi a b 
\end{align*}

Es f\'acil justificar esta relaci\'on, si recordamos que
una elipse se puede considerar como la proyecci\'on 
ortogonal de un c\'{\i}rculo sobre un plano. Imaginemos un
c\'{\i}rculo de radio $ R $, cuyo  plano forma un \'angulo cualquiera
$\beta $ con un plano XY horizontal, instalado de modo que la ``
sombra" del c\'{\i}rculo sea una elipse de semi-ejes $a = R $ y 
$ b = R \cos(\beta) $.

Ahora, si imaginamos que el c\'{\i}rculo est\'a tapizado por peque\~nos
cuadraditos de arista $ \Delta $, la sombra de cada cuadradito ser\'a
un rect\'an\-gulo de lados  $\Delta $ y  $\Delta \cos(\beta) $, de modo
que el \'area de la sombra de cada cuadradito es  $\Delta \left( (\Delta 
cos(\beta)\right) $.

Esto, que ocurre para cada cuadradito, se refleja\'a asimismo en la relaci\'on 
que existe entre el \'area del c\'{\i}rculo y el \'area de su sombra, la 
elipse. De aqu\'{\i} proviene la ecuaci\'on C)

Para finalizar, veamos c\'omo un poco de \'algebra nos lleva hasta 
la ecuaci\'on C).
De la Fig. 5) se ve que
\begin{align*}
 a\cos\phi = a\epsilon + r\cos\theta \kern1pc \hbox{y que}
 \kern1pc  b\sen\phi = r\sen\theta 
\end{align*}

Si a estas dos ecuaciones las escribimos
\begin{align*}
 a\cos\phi - r\cos\theta = a\epsilon  \\
 b\sen\phi = r\sen\theta 
\end{align*}

\noindent basta elevar al cuadrado y sumar, para que desaparezca el \'angulo 
$\theta$. Se obtiene

\begin{figure}[!h]
%\centering{\includegraphics[scale=0.4]{grav/cap10_fig01}}
\caption{Relaci\'on entre $\phi$ y $\theta$. \label{cap10:f4}}
\end{figure}

\begin{align*}
 a^2\cos^2\phi + a^2\epsilon^2 - 2a^2\epsilon\cos\phi + b^2\sen^2\phi = 
r^2 
\end{align*}

Ahora podemos eliminar toda referencia al semi--eje menor $b$, aprovechando que
$ b^2 = a^2 - a^2\epsilon^2 $. La ecuaci\'on anterior se reduce a
\begin{align*}
 a^2\,(1 - 2\epsilon\cos\phi + \epsilon^2\cos^2\phi) = r^2
\end{align*}
y extrayendo ra\'{\i}z, se llega a lo prometido: la ecuaci\'on C).

\section{La noci\'on de gradiente}

Como los campos escalares son m\'as sencillos, comencemos con ellos;
para simplificar nuestros dibujos, consideremos un ejemplo 
espec\'{\i}fico de campo solamente bi--dimensional. Pensemos, por 
ejemplo, que el n\'umero que asociamos a cada punto $(x,y) $ es
la altura $ a(x,y) $ de \'este, respecto a un cierto plano de referencia.
N\'otese que  $a(x,y) $ es una funci\'on de la posici\'on. Es una
\textsf{funci\'on escalar}.

Si, cualquiera que sea el punto $(x,y) $ la funci\'on  $a(x,y) $ 
tomase el mismo valor ---digamos, el  n\'umero 17---, entonces el campo  
que estamos considerando ser\'{\i}a un campo muy aburrido (claro que
en vez de decir ``aburrido", se usan palabras m\'as solemnes). Si
el campo tiene el mismo valor en todas partes, se dice que
es \textsf{uniforme} u \textsf{homog\'eneo}. 

Si un campo no es uniforme, entonces es de gran inter\'es saber
cu\'anto cambia  $a(x,y), $ si pasamos desde un punto $(x,y) $  a otro 
punto vecino; digamos, $(x + dx, y+dy) $.

En primera aproximaci\'on, el {\sl cambio} de una funci\'on 
$a(x,y), $ al pasar desde un punto $(x,y) $ a otro punto
 vecino $(x+dx, y+dy), $ se puede escribir
\begin{align}
   da = \frac{ \partial a }{  \partial x }dx + 
\frac{ \partial a }{  \partial y }dy  
\end{align}

Esta expresi\'on dice, en forma rebuscada, lo que sabe cualquier
mula que viva en las monta\~nas. Una vez o\'{\i} el siguiente soliloquio
de una de ellas.
 
\begin{angosto}
Si doy un paso ${\bf ds}$,  voy a subir o voy a bajar. Lo 
que suba o baje depender\'a del \textsf{da}, pero el cambio en altura va a 
depender no s\'olo del tama\~no de mi paso,
sino tambi\'en de la direcci\'on en que lo d\'e.
Si en la direcci\'on $ {\bf x} $ no hay pendiente, entonces
$ \partial a/\partial x = 0 $ y mi desplazamiento, en la 
direcci\'on  $x$, no produce cambio de altura. El cambio de altura debe 
depender entonces de las dos componentes de mi paso, \textsf{dx} y 
\textsf{dy}, as\'{\i} como de las pendientes en esas direcciones.
Entonces, a menos que yo sea muy desgraciada,
siempre existe una direcci\'on especial
en la que, si doy un pasito justamente en esa direcci\'on, ni subo ni bajo,
en cuyo caso  $da = 0. $ Esa es la direcci\'on buena para hacer 
caminos que rodeen la monta\~na. Si no existe ninguna 
direcci\'on en que $da $ sea cero, entonces es que estoy
en un hoyo...o en la punta del Aconcagua. ¡que 
distra\'{\i}da estoy!
\end{angosto}

La historia de la mula nos hace recordar que, en los mapas, una
manera de representar la topograf\'{\i}a de un terreno es mediante
{\sl curvas de nivel}, que son aquellas curvas que se obtienen uniendo
los puntos que est\'en todos a una altura dada, como en la figura 
que vemos al lado.

\noindent\parbox[t]{3in}
{Si caminamos a lo largo de una l\'{\i}nea de nivel, nuestra altura no 
cambia (por definici\'on de l\'{\i}nea de nivel). Podemos decir
lo mismo de otro modo: si doy un paso ${\bf ds} $ en la direcci\'on
de la l\'{\i}nea de nivel que pasa por el punto en que estoy, 
entonces, en esa direcci\'on, $ da = 0 $. \endgraf
Las regiones en que las curvas de nivel est\'an muy pr\'oximas
entre s\'{\i}, corresponden a regiones en donde hay una gran pendiente
$\ldots$ en la direcci\'on perpendicular a las l\'{\i}neas.}
\bigskip

La estructura de la expresi\'on  1) hace que, de inmediato, recordemos
una expresi\'on parecida: el producto escalar de dos vectores
$ \vec A \cdot \vec B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z $.

En efecto, la expresi\'on 1) puede interpretarse como el producto escalar
del vector $ {\bf ds}  = dx \widehat x + dy \widehat y $ con el vector
\begin{align}
  \frac{ da }{  \partial x }\widehat x + \frac{ da }{  \partial y }\widehat y  
\end{align}

En general, al  vector 
$$ \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) $$
se lo llama {\bf gradiente}, concepto  que tiene
que ver con  ``grada", palabra espa\~nola que nos hace recordar
los verbos  ``subir'' y ``bajar". 

Tal como est\'a escrita la expresi\'on  2), las 
derivadas all\'{\i} aparecen derivando en el vac\'{\i}o, por lo que mejor 
ser\'{\i}a considerar al gradiente como un  {\sl operador},
operador que ---por supuesto--- produce resultados solamente si tiene algo 
sobre qu\'e operar. En este caso, lo que hay que ofrecerle a los operadores
diferenciales son funciones.

No existe un s\'{\i}mbolo universal para el gradiente. En Alemania y 
en sus antiguas colonias se acostumbra el imaginativo s\'{\i}mbolo
\hbox{\textsf{grad}\kern1pt a}, mientras que en las colonias inglesas se suele
escribir $\nabla a $. Y como saben todos los que usan \TeX\,
el s\'{\i}mbolo  $\nabla $ se llama {\sl nabla}, que es una palabra 
de origen asirio  que significa ``arado".

Landau y sus amigos rusos,  usan el s\'{\i}mbolo $ \partial a / \partial s $.
Esta manera de representar el gradiente parece abusiva, ya que no est\'a 
definida la divisi\'on por un vector; pero no hay de qu\'e preocuparse, pues
se trata solamente de un s\'{\i}mbolo elegido por ser muy sugerente:
sugiere el significado de la {\sl operaci\'on gradiente.}

Cuando el operador \textsf{grad } opera sobre una \textsf{campo escalar}, 
obtenemos un {\bf campo vectorial}. Veamos unos ejemplos.

Ejemplo 1.- Estamos de paseo en una regi\'on donde la altura,
respecto al mar (cuando la marea est\'a alta), est\'a dada por
la siguiente  funci\'on
\begin{align*}
   a(x,y) =  3x^2 y - 5y^3 
\end{align*}

Estamos en el punto  $x = 1 $ , $y = 2 $. ¿Cu\'anto subimos,
si damos un paso $ \vec ds = (\frac12 \widehat x +
 \widehat y) $?

Se obtiene de inmediato
\begin{align*}
  \nabla a = (6xy, - 15y^2) 
\end{align*}
vector que, en el punto $1,2 $, se reduce a
$ \nabla a = (12, - 60) $ 

Entonces  
\begin{align*}
  da = (12, -60) \cdot (0.005\,  ,\, 0.01) =  -.54 
\end{align*}

\bigskip

Ejemplo 2.-  Nos cuentan que el plano XY es horizontal y que el eje
Z apunta verticalmente hacia arriba. Luego, nos dan el campo escalar  U 
= 3z  y nos piden calcular  $\hbox{grad} U. $

Como U no depende  de $x$ ni de $y$, $\partial U/ \partial x = 0 $
y $\partial U /\partial y = 0 $, mientras que $\partial U/\partial z = 
3 $. Entonces
$$ \hbox{grad} U = 3 \widehat z $$

Al aplicar el operador gradiente al campo escalar $U(x,y,z)  = 3z $,  
obtenemos el campo vectorial  $ 3 \widehat z, $  un mont\'on de flechitas, todas
de tama\~no 3, que apuntan hacia arriba.

\bigskip
Ejemplo 3.- Nos dan la funci\'on  $ \phi (x,y,z)  =  3/r $,
en que  $r $ es la distancia al origen; es decir,
$ r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2 } $. Se nos pide calcular $\nabla \phi $.

Ahora todo est\'a en griego y asirio, pero se trata de lo mismo. La
\'unica novedad es que esta vez tenemos una funci\'on de $x,y,z $
en donde las variables aparecen en una combinaci\'on especial, de
modo que, al fin de cuentas, la funci\'on $\phi $ depende solamente
de la distancia al origen y no de la direcci\'on en que se encuentra
este.

Basta usar la regla de la cadena para verificar que, si  $\phi $
depende solamente de $r, $ entonces
\begin{align}
\framebox{ $\nabla \phi = \frac{d \phi  }{  dr } \widehat r $}
\end{align}

Este es un resultado general, al que conviene prestar atenci\'on. Si se 
trata de una funci\'on $\phi$ que depende solamente de la distancia al 
origen, entonces el gradiente es un vector que apunta en la 
direcci\'on radial, quiz\'as hacia el origen o hacia afuera. Su 
tama\~no es igual a la derivada (ordinaria) de la funci\'on  $\phi(r). 
$ 

Entonces, como en el ejemplo que estamos considerando 
$d\phi /dr = - 3/r^2, $ resulta que
\begin{align*}
 \nabla \phi = - \frac{ 3 }{  r^2 } \widehat r 
\end{align*}

\section{Campo de una c\'ascara esf\'erica}

Vamos a mostrar que una c\'ascara esf\'erica atrae... ¡como si toda su 
masa estuviese concentrada en su centro!

\noindent\parbox[t]{3in}
{La figura muestra una delgada c\'ascara esf\'erica de
radio R y masa M. Entonces, su masa por unidad de \'area
es  $\sigma = M/ 4\pi R^2 $.\\
Una part\'{\i}cula de masa $m$ se encuentra a la distancia
$r$ del centro de la c\'ascara. Lo que haremos ser\'a calcular
la fuerza total sobre $m, $ pero lo haremos calculando primero
la energ\'{\i}a potencial  $U(r) $ del sistema y, luego, supondremos
que cambiamos levemente la posici\'on de la part\'{\i}cula
$m; $ es decir,  derivaremos a $U(r) $ y a la derivada le cambiaremos
el signo.\\
Para aprovechar la simetr\'{\i}a, tomamos como elemento de \'area 
a la cinta de ancho $ Rd\theta, $
que se indica en la figura. Todos los puntos de esta cinta
est\'an a la misma distancia $a $ de la part\'{\i}cula de
masa  $m$. }
\medskip

La masa de la cinta es $dM = \sigma \cdot 2\pi 
(Rsen\theta)\,(Rd\theta), $ de modo que la contribuci\'on de esta 
cinta, a  la energ\'{\i}a potencial total, es
\begin{align*}
dU & = - \frac{Gm  \cdot 2\pi \sigma R^2 sen\theta d\theta }{a} \\
& = - \frac{C \cdot R^2 sen\theta d\theta}{a} 
\end{align*}
en que naturalmente $ K = 2\pi \sigma Gm. $

Usando el teorema del coseno ---$ a^2 = R^2 + r^2 - 2Rr cos\theta $--- y
derivando $ \mapsto a da = Rrsen\theta d\theta, $ entonces
$$ dU = - \frac{ K R da  }{  r } $$
de donde
\begin{align}
  U = - \int _{(r+R)} ^{(r-R)} \frac{ K R da }{  r } = - \frac{ GMm }{  r } 
\end{align}

De aqu\'{\i} se desprende que
$$ \nabla U = \frac{ GMm }{  r^2  } \widehat r $$
y, por lo tanto, la fuerza sobre $m$  es
$$  \vec F = - \frac{ GMm }{  r^2  } \widehat r $$
En palabras: la fuerza sobre $m$ es igual a la fuerza que
actuar\'{\i}a si la c\'ascara se contrajese, hasta terminar
en una part\'{\i}cula de masa $M $ en el centro de ella.

En la ecuaci\'on 1) supusimos que la part\'{\i}cula $m $ se encuentra
\underline{fuera} de la c\'ascara. Si est\'a dentro de ella
sirve el mismo procedimiento de c\'alculo, pero, una vez llegados a la
ecuaci\'on 1), los l\'{\i}mites de integraci\'on son $R + r$ y $R - r$,
de modo que  $ U = - GMm/R = \hbox{constante} $. 

Dentro de la c\'ascara, la energ\'{\i}a potencial es constante.
Si la energ\'{\i}a potencial es constante, entonces  $\nabla U = 0 $,
es decir, dentro de la c\'ascara la fuerza es cero; o lo que es lo 
mismo, el campo gravitacional dentro de la c\'ascara es cero.

\section{Energ\'{\i}a y masa reducida}

Sabemos que la energ\'{\i}a cin\'etica de un sistema de 
part\'{\i}culas se puede escribir como la suma de dos partes:
la energ\'{\i}a cin\'etica {\bf del centro de masa}, respecto al 
laboratorio, + la energ\'{\i}a de las part\'{\i}culas, respecto al 
centro de masa. En el caso de dos part\'{\i}culas que interact\'uan
mediante fuerzas newtonianas, el momentum total se conserva, de
modo que, en el centro de masa
$$ m_1 \vec v_1 + m_2 \vec v_2 = 0 $$.

 Si llamamos  $\vec u $ a la velocidad relativa entre ellas,
digamos $\vec u \equiv \vec v_2 - \vec v-1 $, entonces, de estas dos
ecuaciones se desprende que
\begin{align}
 \vec v_1 = -\frac{ m_2 }{  M }\vec u  \hskip1.5cm \vec v_2 = + 
\frac{ m_1 }{  M } \vec u 
\end{align}

\noindent en que naturalmente  $ M = m_1 + m_2 $.
Entonces, la energ\'{\i}a cin\'etica T de este sistema de dos 
part\'{\i}culas la podemos escribir
\begin{align*}
T & = \frac12 m_1v_1^2 + \frac12 m_2v_2^2 \\
& = \frac12 m_1 \frac{ m_2^2 }{  M^2 } u^2 + \frac12 m_2 \frac{ m_1^2 }{  M^2 } u^2 \\
& = \frac12 \mu u^2 
\end{align*}

Lo que hace interesante a esta relaci\'on es que tiene la misma forma 
que el caso de una part\'{\i}cula $ T = \frac12 m v^2. $ Solamente 
que, ahora, en vez de la masa aparece la masa reducida; y, en vez de la 
velocidad de cada part\'{\i}cula, aparece solamente la velocidad 
relativa entre ambas.

En forma an\'aloga, se puede mostrar que el momentum angular total de 
este sistema de dos part\'{\i}culas
$$ \vec L = \vec r_1 \times m_1 \vec v_1 + \vec r_2 \times m_2 \vec 
v_2 $$
se puede escribir
$$ \vec L = \vec r \times \mu \vec u $$
en que  $\vec r = \vec r_2 - \vec r_1 $ y $\vec u $ su
velocidad relativa.

\section{La energ\'{\i}a y ecuaciones  de Movimiento}

Para simplificar la notaci\'on y no tener que estar escribiendo 
sumatorias, consideraremos el caso de solamente dos part\'{\i}culas.
En este caso,
$$ E = \frac12 m_1 v_1 ^2 + \frac12 m_2 v_2 ^2 + U $$
y como  E es constante,
\begin{align*}
\frac{dE}{dt} &= m_1 \vec v_1 \cdot \frac{d\vec v_1}{dt} + m_2 \vec v_2 \cdot \frac{d \vec v_2}{dt} + \frac{\partial U}{\partial \vec s_1} \cdot \vec v_1 + \frac{\partial U}{\partial \vec s_2}\cdot \vec v_2 = 0 \\
\frac{dE}{dt} &= \left( m_1 \frac{d\vec v_1}{dt} + \frac{\partial U}{\partial \vec s_1} \right) \cdot \vec v_1 +  \left( m_2 \frac{d\vec v_2}{dt} + \frac{\partial U}{\partial\vec s_2} \right) \cdot \vec v_2  = 0 \\ 
& = \left( m_1 \frac{d \vec v_1}{dt} - \vec F_1 \right) \cdot \vec v_1 + \left( m_2 \frac{d \vec v_2}{dt} - \vec F_2 \right) \cdot \vec v_2 = 0 
\end{align*}

 La manera trivial en que la igualdad anterior se puede verificar
es cuando  $\vec v_1 = \vec v_2 = 0, $ pero \'este es un caso 
aburrid\'{\i}simo,  pues nada se mover\'{\i}a. Es m\'as interesante
aceptar la posibilidad de que los par\'entesis, que multiplican
tanto a $\vec v_1 $ como a $\vec v_2, $ sean cero. Pero, suponer
que los par\'entesis son cero, equivale a aceptar que los
movimientos de ambas part\'{\i}culas deben regirse seg\'un
las ecuaciones  $ F_i = m_i d\vec v_i/dt $

Hemos cerrado el c\'{\i}rculo y no solamente nos acompa\~na
la idea de no haber cometido errores de c\'alculo, sino
que emerge una posibilidad interesante. Como no hay
muchos tipos de fuerzas ---digamos---, tampoco hay muchos
tipos de energ\'{\i}as potenciales, de modo que, en
muchos casos, es m\'as f\'acil escribir la funci\'on
energ\'{\i}a potencial de un sistema (que es una funci\'on escalar)
que cada una de las ecuaciones de movimiento. Luego,
a medida que las vayamos necesitando, iremos derivando las
respectivas ecuaciones de movimiento.
